Beweren en bewijzen/de zuilen/Formalisering/2. Precisie

literatuur ...

Willen we bij het redeneren geen fouten maken, moeten we ons heel precies uitdrukken. "Wat bedoelt U precies met 'precies'?" Dat leggen we uit aan de hand van voorbeelden uit de kranten en uit het werk van studenten van deze cursus. Het zal blijken dat men vooral dingen moet afleren.

Syntactisch correct

Het bewerings krijgen syntags een betekenissen geent of na naar verkeerdt. Mijdver!

Syntactisch eenduidig

De zin

Time flies like an arrow.

kan zo'n zeven verschillende betekenissen hebben [1][2] omdat hij op een aantal verschillende manieren ontleed kan worden. Wie zich precies wil uitdrukken moet vermijden dat zijn uitingen met een andere ontleding een andere betekenis krijgen.

Een voorbeeld voor wie de Duitse taal beheerst (en de geaardheid van zekere burgemeesters kent): →
Die jüngste Rechtschreibreform hat hier viel Schaden angerichtet, weil man nicht mehr unterscheiden kann was gesprochen ganz anders klingt: Die Bürgermeister von Berlin und Hamburg sind gestern Abend zusammen gekommen.

Twee bijen praten met elkaar. De ene bij vraagt:

Wat was was eer was was was?
Eer was was was was was is. Aanhalingstekens zijn noodzakelijk indien over taal gepraat wordt: Wat was "was" eer "was" "was" was? Eer "was" "was" was was "was" "is".

Volledig

Laten we nu een deurbel specificeren. Dit is de →focus:

• Het fragment van de realiteit is de knop aan de voordeur, de bel binnen op de bovenverdieping en de nodige bedrading.
• Het perspectief is het gedrag, namelijk dat het op het juiste moment wel of niet rinkelt. De kunstzinnige vormgeving van de knop en de muziekhistorische waarde van de ringtone vallen buiten dit perspectief. Daarvan abstraheren we.

Is het volgende een goede eerste benadering van de specificatie van het gedrag van de deurbel?

Als buiten een signaal gegeven wordt, rinkelt het binnen.

Veel mensen zullen dit beamen, omdat ze mentaal invullen:

... en als geen signaal gegeven wordt, rinkelt het niet.

Maar een malafide verkoper met een goede advocaat zal de klant misschien een continu rinkelend belletje verkopen waarvan hij in een onduidelijk land een groot aantal had kunnen kopen. Dat rinkelt tenslotte ook als er buiten een signaal gegeven wordt.

Een betere formulering is:

Het rinkelt binnen op precies de momenten waarop buiten een signaal gegeven wordt.

We moeten alert zijn dat we veel dingen vanzelfprekend aannemen die eigenlijk expliciet genoemd moeten worden, wil men misverstanden voorkomen.

Kernachtig

Houd het bij onomwonden, kernachtige beweringen. Het is niet nodig of verstandig, in een specificatie woorden als "moet", "kan", "mag" te gebruiken, want die kunnen weer voor misverstanden zorgen. Een specificatie zegt wat het geval is, hoe korter, hoe beter. Elk woord te veel is gevaarlijk:

Als dit apparaat niet kapot is rinkelt het binnen dan en slechts dan als buiten de knop ingedrukt wordt.

Elk theekopje voldoet aan deze specificatie: het is een kapotte deurbel.

Hier een voorbeeld met bijzonder veel overbodige, verwarrende en misleidende woorden, uit het leven van deze cursus gegrepen:

De aanleiding om het doel van een deurbel te laten gelden is in de behoefte om een signaal te verplaatsen, in dit geval van binnen naar buiten. Het doel van een deurbel is om op verzoek te rinkelen, dit is het hoogst waarneembare doel. Als dit doel iets verder gespecificeerd wordt, dan wordt het: Het inschakelen van een elektrische bel op een zodanige wijze, dat de bel precies op die moment van stroom wordt voorzien, waarop een knop ingedrukt wordt. Hierbij is van belang, dat de kwaliteit zodanig is, dat het ook doet wat het moet doen.

Wie niet goed piano kan spelen gebruikt graag het rechter pedaal, waarmee je elke onzuiverheid in aangenaam halfduister kunt hullen. Zo kent ook natuurlijke taal een aantal middelen om een rookgordijn op te trekken: "als het ware", "eigenlijk", "in principe", "iets van", "in verband met", "o.i.d." e.d. In professionele specificaties zijn deze onacceptabel.

Ook modale woordjes als "moet", "kan", "mag" hebben in kernachtige beweringen niets te zoeken: ze laten iets open, maar zeggen niet wat. In de wet staat: "wie [dat en dat] doet wordt [zo en zo] gestraft." Punt. Niet: "Degene, waarvan vastgesteld is dat hij... zou eigenlijk door de rechter die en die straf opgelegd zou moeten worden."

Semantisch eenduidig

Als het regent of stormt is het terras gesloten.

En als het regent én stormt tegelijk? Uiteraard ook, dat is toch duidelijk.

Ober: Wat wenst U te drinken?
Gast: Wijn of champagne.

Zou zo'n gast het accepteren dat hij een fles wijn én een fles champagner voor zijn neus krijgt en beide op de rekening verschijnen?

Drinkt u koffie of thee?
Neemt u suiker of melk?

Over het algemeen verstaat men de alternatieven in de eerste vraag als exclusief – van de gast wordt verwacht dat hij precies één drank kiest – en de tweede zin als inclusief – de gast mag ook suiker én melk in zijn koffie bestellen. (Terzijde: Formeel zijn dit gesloten vragen, waar de aangesprokene met „Ja” of „Nee” op kan antwoorden. In de praktijk gebeurt dat echter zelden. Natuurlijke taal heeft ook een pragmatisch niveau, waarop het gaat over de effecten die de spreker wenst te bewerkstelligen. In dit voorbeeld: De ober/gastheer wil graag een bestelling opnemen; zijn woorden maken in de eerste plaats zijn bereidheid daartoe duidelijk.)

Het voegwoord of heeft in natuurlijke taal geen eenduidige betekenis. Professionals zijn zich hiervan bewust en schrijven óf "óf ... óf ..." óf "... en/of ...". Of ze vinden een elegante én eenduidige formulering die het woordje "of" helemaal vermijdt.

Consistent

De betekenis van naamwoorden en werkwoorden ligt in natuurlijke taal niet helemaal vast. De betekenis kan schommelen (hoe groot is groot precies?), maar een woord kan ook een aantal totaal verschillende betekenissen hebben (homoniemen). Dit kan makkelijk worden opgelost, bijvoorbeeld door de context aan te geven en duidelijk te maken welke afspraken hier gelden:

In dit jachttijdschrift betekent "das" altijd de beschermde diersoort en niet een stuk dat men om zijn hals knoopt.

Essentieel is wel dat hetzelfde woord ook overal dezelfde betekenis heeft. Op een tekst waarin hetzelfde woord voor verschillende betekenissen gebruikt wordt (→knel) kun je geen deugende redenering bouwen.

Formele talen

Deze valkuilen kan men vermijden door binnen de context van het professionele werk een kunstmatige, formele taal af te spreken. Zo'n taal, ook formalisme genoemd, moet zo in elkaar zitten dat alle syntactisch correcte teksten precies één betekenis hebben, die langs de syntaxboom van de tekst bepaald kan worden.

Binnen de wereld van zo'n formalisme kan men absoluut eenduidige, betrouwbare redeneringen opzetten en controleren, al dan niet met behulp van een computerprogramma:

• Zonder valkuilen van de natuurlijke taal
• Men moet wel absoluut zeker weten hoe het formalisme werkt en het perfect toepassen
• Zonder het vangnet van de natuurlijke taal

Formele talen hebben het nadeel dat men een tekst pas begrijpen kan als men syntax en semantiek van de taal precies kent. Het is alles of niets. Voor je het weet heb je bij één symbool een totaal verkeerd idee en begrijp je de hele tekst verkeerd.

Geformaliseerde natuurlijke taal

Omdat elk formalisme weer geleerd moet worden, hebben veel mensen een hekel aan formele talen die zo ver gaan dat je niet eens met haakjes mag aankomen: ze klappen meteen dicht. Daarom probeert men soms de natuurlijke taal zo zorgvuldig toe te passen als ware het een formele taal. Men wil het exact en leesbaar tegelijk houden. Dat lukt aardig, als men afleert wat men op school geleerd heeft:

We leren op school dat men herhalingen moet vermijden en niet steeds weer dezelfde woorden moet gebruiken. "De jongen liep op straat. De vrachtwagenbestuurder zag het kind niet. Het kereltje was bijna dood." Om hoeveel mensen gaat het hier?

Om de exactheid van formele talen te benaderen moet men zich aan een aantal regels houden. Het resultaat noemen we geformaliseerde natuurlijke taal.

Kwaliteitscriteria geformaliseerde natuurlijke taal Gebruik voor dezelfde dingen steeds precies dezelfde woorden. Gebruik verschillende woorden als signaal dat er een verschil in betekenis is. Gebruik bij het maken van zinnen geen voegwoorden waarvan de betekenis vaag is. In de formele logica hebben alle voegtekens een precieze betekenis: ∧, ∨, → etc. In de natuurlijke taal gaat het met "of" al mis. Hoe beter je formele talen beheerst hoe preciezer je natuurlijke taal kunt toepassen, omdat de formele talen je de problemen duidelijk hebben gemaakt. Maak absoluut duidelijk waar je een eigen begrip definieert en houd je dan precies aan deze definitie en gebruik de term daarna in de tekst nooit meer in de "gewone" betekenis. Zeg geen woord te veel. Vermijd modale woordjes als "kan", "moet", "mag". Gebruik aanhalingstekens als je in de taal over de taal schrijft. "In het Nederlands" heeft zeker 15 letters. In het Nederlands heeft "zeker" 5 letters. Gebruik verschillende lettertypes waar dat helpt verschillende taalniveaus te onderscheiden.

Leesbaar

In het afschrikkende voorbeeld hieronder ontbreekt 1 haakje. Waar?

Definition Kachel := ((forall t1 : T, (forall t2 : T, (t2 in (t1-5, t1] -> KIK t2 /\ LIK t2 /\ VER t2)
-> TEMP (t1) warmtewisselaar kookpunt /\ (forall t3 : T, t3 in (t1-5, t1] /\ RUS t3)) /\ (forall t1 : T, (forall t2 : T, (t2 in (t1-5, t1] ->
~KIK t2 \/ ~LIK t2 \/ ~VER t2)) -> ~TEMP (t1) warmtewisselaar kookpunt /\ (forall t3 : T, t3 in (t1-5, t1] /\ ~RUS t3))).

Wie ingewikkelde specificaties in een formalisme opschrijft, moet zijn formules zo opmaken dat de lezer als het ware de constructieboom voor zich ziet. Dit kan op allerlei manieren en is deels een kwestie van smaak. Hier een voorbeeld:

Definition Kachel := 
(   (forall t1: T,   (forall t2: T, (t2 in (t1-5, t1] ->  KIK t2 /\ LIK t2 /\ VER t2))
                   ->
                     TEMP (t1) warmtewisselaar kookpunt /\ (forall t3: T, t3 in (t1-5, t1] /\ RUS t3)
    )
  /\
    (forall t1: T,   (forall t2: T, (t2 in (t1-5, t1] -> ~KIK t2 \/ ~LIK t2 \/ ~VER t2))
                   ->
                     ~TEMP (t1) warmtewisselaar kookpunt /\ (forall t3: T, t3 in (t1-5, t1] /\ ~RUS t3)
    )
).

Je ziet meteen wat de bereiken van de quantoren zijn. Bij elk openend haakje kun je het erbij horende sluitende haakje makkelijk vinden.

Te veel witruimte is echter ook niet goed. Bij goede indentatie en de juiste plaatsing van haakjes is het niet nodig om ook nog witregels in formules te hebben of de regel achter een openend haakje wit te laten. Leesbaarheid hangt er namelijk ook van af dat je alles wat bij elkaar hoort in samenhang kunt zien, dus niet over te veel pagina's verspreid:

(

    (
      a
    )

  ⇒

    (
      b
    )

)

Dat is nergens goed voor en maakt formules onnodig groot.

Kwaliteitscriteria opmaak van formules Formules mogen nooit zo breed gezet worden dat ze van de pagina aflopen. Een sluitend haakje staat óf op dezelfde regel als het bijbehorende openend haakje óf precies eronder. Hetzelfde geldt voor voegtekens en operatoren op hetzelfde niveau. Wees zuinig met onnodige haakjes en witruimte.

Wie zich niet houdt aan zulke discipline doet zichzelf geen plezier: ook de eigen formules zijn na een tijd niet meer te doorgronden. Tegen andere lezers, waaronder medestudenten en docenten, is een onoverzichtelijk opgemaakte formule een uiting van onbeleefdheid. Je moet het zo schrijven dat het voor de ander aantrekkelijk is je werk te doorgronden en geen kwelling.

Het probleem van het doorgronden van constructiebomen doet zich ook in natuurlijke taal voor:

Zo schrijft de Nederlandse rechter J. Willems, voorzitter van de Raad van Tucht, over Peper vs. KPMG: Omdat het te verrichten onderzoek zich aldus mede zou gaan uitstrekken tot de gedragingen van individuele personen, die bovendien zoals ten aanzien van klager het geval was nog immer, hetzij binnen de gemeente Rotterdam hetzij daarbuiten, publieke functies bekleedden en omdat naar betrokkenen wellicht hebben onderkend en in ieder geval behoren te hebben onderkend eventuele, deze personen belastende, bevindingen diverse gevolgen zouden kunnen hebben, niet alleen van bijvoorbeeld civielrechtelijke of bestuursrechtelijke aard, rustte op betrokkenen meer nog dan in het algemeen reeds met betrekking tot het geraken en presenteren van bevindingen door accountants het geval is in het bijzonder de verplichting naar de mate van het redelijkerwijs mogelijke te voorkomen dat met name eventuele indidividuele personen belastende bevindingen een onevenredige nadruk zouden kunnen gaan krijgen, bijvoorbeeld doordien aan die bevindingen vanwege de wijze van presenteren ervan of het onvoldoende plaatsen daarvan in de context van bevindingen met betrekking tot de regelgeving of bestuurlijke of andere opvattingen waarbinnen of op de grondslag waarvan de onderzochte activiteiten werden verricht een andere betekenis zou worden toegekend dan zij genuanceerd en in haar context begrepen naar objectieve maatstaven dienen te hebben.

Bovenstaande bewering is juridische taal. Juristen zijn gewend zich zorgvuldig en ondubbelzinnig uit te drukken, maar wat opmaak betreft, kunnen ze misschien van wiskundigen en informatici nog wat leren. De lezer moet namelijk de volgende opmaak mentaal reconstrueren alvorens ook maar iets te begrijpen; dan is het glashelder:

Omdat het te verrichten onderzoek zich aldus mede zou gaan uitstrekken tot de gedragingen van individuele personen, die bovendien zoals ten aanzien van klager het geval was nog immer, hetzij binnen de gemeente Rotterdam hetzij daarbuiten, publieke functies bekleedden en omdat naar betrokkenen wellicht hebben onderkend en in ieder geval behoren te hebben onderkend eventuele, deze personen belastende, bevindingen diverse gevolgen zouden kunnen hebben, niet alleen van bijvoorbeeld civielrechtelijke of bestuursrechtelijke aard, rustte op betrokkenen meer nog dan in het algemeen reeds met betrekking tot het geraken en presenteren van bevindingen door accountants het geval is in het bijzonder de verplichting naar de mate van het redelijkerwijs mogelijke te voorkomen dat met name eventuele indidividuele personen belastende bevindingen een onevenredige nadruk zouden kunnen gaan krijgen, bijvoorbeeld doordien aan die bevindingen vanwege de wijze van presenteren ervan of het onvoldoende plaatsen daarvan in de context van bevindingen met betrekking tot de regelgeving of bestuurlijke of andere opvattingen waarbinnen of op de grondslag waarvan de onderzochte activiteiten werden verricht een andere betekenis zou worden toegekend dan zij genuanceerd en in haar context begrepen naar objectieve maatstaven dienen te hebben.

Hoe dan ook, pas als we precieze, ondubbelzinnige beweringen kunnen opschrijven, kunnen we proberen ons gelijk te bewijzen.