Beweren en bewijzen/het verhaal/5. Methoden/casus natuurlijke taal en deductie

literatuur deductieschema Van Benthem Hoofdst. 4 t/m 4.2

Op deze pagina vind je enkele concrete voorbeelden waaruit het verband tussen bewijzen in natuurlijke taal en bewijzen met natuurlijke deductie zou moeten blijken.

Enkele aannames

Hier eerst een tabel met allemaal genummerde aannames. Wij geven geen officieel domeinmodel, maar we nemen aan dat de vertaling naar de logica duidelijk is. Als er tijdens de bewijzen met natuurlijke taal opeens nieuwe aannames gemaakt worden, zijn die met Romeinse cijfers genummerd.

Nr.	Natuurlijke taal	Formele taal
(1)	Jan vertelt een verhaal en Piet leest de krant.	JV ∧ PK
(2)	Als Jan een verhaal vertelt, dan lacht Marie.	JV → ML
(3)	Als Piet de krant leest, dan kijkt Wilma tv.	PK → WT
(4)	Kees is thuis of niet.	KT ∨ ¬KT
(5)	Als Wilma tv kijkt, is Kees niet thuis.	WT → ¬ KT
(6)	Als Kees thuis is en Marie lacht dan is hij gelukkig.	KT ∧ ML → KG
(7)	Als Kees niet thuis is, is hij gelukkig.	¬ KT → KG

Enkele conclusies

Vervolgens een tabel met beweringen die we zouden willen bewijzen uit bovenstaande aannames. Deze conclusie zijn allemaal aangeduid met een kleine letter. Indien er tijdens het bewijzen in natuurlijke taal nog meer (deel)conclusies worden getrokken, die niet in deze lijst stonden, worden zij aangeduid met hoofdletters.

Nr.	Natuurlijke taal	Formele taal
(a)	Jan vertelt een verhaal en Piet leest de krant.	JV ∧ PK
(b)	Jan vertelt een verhaal.	JV
(c)	Piet leest de krant.	PK
(d)	Marie lacht.	ML
(e)	Wilma kijkt tv.	WT
(f)	Wilma kijkt tv en Marie lacht.	ML ∧ WT
(g)	Als Wilma tv kijkt, is Kees gelukkig.	WT → KG
(h)	Marie lacht of Piet leest de krant.	ML ∨ PK
(i)	Kees is gelukkig.	KG

Bewijzen in natuurlijke taal

Merk op dat we bij deze bewijzen zoveel mogelijk teruggrijpen op al eerder bewezen beweringen. Bij de bewijzen met natuurlijke deductie doen we dat bewust niet en daardoor zullen bepaalde afleidingen telkens als deelboom terugkomen.

Jan vertelt een verhaal en Piet leest de krant.

Uit aanname (1) volgt dat Jan een verhaal vertelt en dat Piet de krant leest. Maar dat was precies wat we moesten bewijzen, dus we zijn klaar.

Jan vertelt een verhaal.

Uit aanname (1) volgt dat Jan een verhaal vertelt en dat Piet de krant leest. Dus in het bijzonder geldt dat Jan een verhaal vertelt.

Piet leest de krant.

Uit aanname (1) volgt dat Jan een verhaal vertelt en dat Piet de krant leest. Dus in het bijzonder geldt dat Piet de krant leest.

Marie lacht.

Uit aanname (2) volgt dat als Jan een verhaal vertelt, dan lacht Marie. Maar conclusie (b) toont aan dat Jan inderdaad een verhaal vertelt. En dus volgt uit (b) en (2) samen dat Marie lacht.

Wilma kijkt tv.

Uit aanname (3) volgt dat als Piet de krant leest, Wilma tv kijkt. En conclusie (c) toont aan dat Piet inderdaad de krant leest. En dus volgt uit (c) en (3) dat Wilma tv kijkt.

Wilma kijkt tv en Marie lacht.

Uit conclusie (d) volgt dat Marie lacht. Uit conclusie (e) volgt dat Wilma tv kijkt. Maar dan volgt uit (e) en (d) samen wel dat Wilma tv kijkt en Marie lacht.

Als Wilma tv kijkt, is Kees gelukkig.

Als we een 'als-dan' bewering moeten bewijzen, betekent dat dat we het 'als' gedeelte dan als extra aanname mogen gebruiken. Dus hier krijgen we als extra aanname (I) Wilma kijkt tv. Uit aanname (5) volgt dat als Wilma tv kijkt, Kees dan niet thuis is. Maar uit die extra aanname (I) weten we nu juist dat Wilma tv kijkt. Dus volgt uit (I) en (5) samen de conclusie (A) dat Kees niet thuis is. Maar uit aanname (7) volgt dat als Kees niet thuis is, hij gelukkig is. Dus uit (A) en (7) samen weten we nu Kees gelukkig is.

Marie lacht of Piet leest de krant.

We hebben al de conclusies (d) Marie lacht bewezen. Maar dan kunnen we die bewering (d) natuurlijk verzwakken: het is dan zeker waar dat Marie lacht of dat Piet de krant leest. Overigens hadden we net zo goed de conclusie (c) Piet leest de krant kunnen gebruiken en dan concluderen dat Marie lacht of dat Piet de krant leest.

Kees is gelukkig.

Deze bewering kunnen we op meerdere manieren bewijzen. De eerste maakt gebruik van de technieken die we hierboven al eerder hebben gezien. Uit aanname (5) weten we dat als Wilma tv kijkt, Kees niet thuis is. Maar uit conclusie (e) weten we al dat Wilma inderdaad tv kijkt. En dus volgt uit (e) en (5) de conclusie (B) dat Kees niet thuis is. (Toevallig is dit dezelfde als (A) hierboven, maar omdat we hem op een heel andere manier hebben verkregen, geven we hem hier toch een nieuwe naam.) Maar uit aanname (7) volgt dat als Kees niet thuis is, hij gelukkig is. Dus uit (B) en (7) samen weten we nu Kees gelukkig is.

De tweede bewering maakt gebruik van een nieuwe techniek: gevalsonderscheiding. Uit aanname (4) weten we dat Kees thuis is of niet. Als het ons nu lukt om in beide gevallen te kunnen bewijzen dat Kees gelukkig is, weten we zeker dat Kees gelukkig is zodra we weten dat een van die twee gevallen waar is, zonder te hoeven weten welk geval waar is. Stel Kees is thuis. Dat is een nieuwe aanname (II). Uit aanname (6) weten we dat als Kees thuis is en Marie lacht, dat Kees dan gelukkig is. Echter, uit aanname (II) en conclusie (d) trekken we de conclusie (C) dat het inderdaad zo is dat Kees thuis is en Marie lacht. Maar uit (C) en (6) weten we dan dat Kees gelukkig is.

Nu het andere geval. Stel dat Kees niet thuis is. Dat is weer een nieuwe aanname (III). Uit aanname (7) weten we dat als Kees niet thuis is, hij gelukkig is. Dus volgt uit (III) en (7) meteen dat Kees gelukkig is.

We hebben nu in beide gevallen en dus in alle gevallen aangetoond dat Kees gelukkig is. Dus is Kees gelukkig, onafhankelijk van welk geval nu is opgetreden.

Bewijzen met natuurlijke deductie

Opmerking vooraf: binnen ons systeem van natuurlijke deductie is het verplicht om op elke regel precies te zeggen wat de aannames zijn. Op deze pagina willen we eigenlijk bovengenoemde beweringen bewijzen aan de hand van alle bovenstaande aannames. Echter, om ruimte en schrijfwerk te besparen, schrijven we hier bij de afleidingen alleen maar die aannames op die ook echt gebruikt worden.

Jan vertelt een verhaal en Piet leest de krant.

	hyp
JV ∧ PK ⊢ JV ∧ PK

De hyp-regel wordt dus gebruikt om afleidingen af te sluiten. Bij elke tak in de afleiding probeer je ervoor te zorgen dat rechts van de ⊢ er een formule staat die ook in het rijtje links van de formules staat.

Jan vertelt een verhaal.

hyp JV ∧ PK ⊢ JV ∧ PK	∧1E
JV ∧ PK ⊢ JV

We zien hier hoe de ∧1E-regel de ∧ elimineert en alleen de eerste helft van die formule behoudt.

Piet leest de krant.

hyp JV ∧ PK ⊢ JV ∧ PK	∧2E
JV ∧ PK ⊢ PK

En hier wordt natuurlijk juist de tweede helft behouden bij de ∧2E-regel.

Marie lacht.

hyp JV ∧ PK, JV → ML ⊢ JV ∧ PK ∧1E JV ∧ PK, JV → ML ⊢ JV	hyp JV ∧ PK, JV → ML ⊢ JV → ML	→E
JV ∧ PK, JV → ML ⊢ ML

Hopelijk herken je hier het verband met de natuurlijke taal. Er wordt eerst een bewijs geleverd van JV en een (triviaal) bewijs van JV → ML. Vervolgens wordt de →E-regel dan gebruikt om te concluderen dat er ook een bewijs voor ML is gevonden.

Wilma kijkt tv.

hyp JV ∧ PK, PK → WT ⊢ JV ∧ PK ∧2E JV ∧ PK, PK → WT ⊢ PK	hyp JV ∧ PK, PK → WT ⊢ PK → WT	→E
JV ∧ PK, PK → WT ⊢ WT

Wilma kijkt tv en Marie lacht.

hyp JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT⊢ JV ∧ PK ∧2E JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ PK   hyp JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ PK → WT →E JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ WT	hyp JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ JV ∧ PK ∧1E JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ JV   hyp JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ JV → ML →E JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ ML	∧I
JV ∧ PK, JV → ML, PK → WT ⊢ WT ∧ ML

Aan de linkerkant wordt er eerst een bewijs gegeven van WT, aan de rechterkant van ML en de ∧I-regel koppelt die bewijzen dan aan elkaar.

Als Wilma tv kijkt, is Kees gelukkig.

hyp WT → ¬ KT, ¬ KT → KG, WT ⊢ WT   hyp WT → ¬ KT, ¬ KT → KG, WT ⊢ WT → ¬ KT →E WT → ¬ KT, ¬ KT → KG, WT ⊢ ¬ KT   hyp WT → ¬ KT, ¬ KT → KG, WT ⊢ ¬ KT → KG →E WT → ¬ KT, ¬ KT → KG, WT ⊢ KG	→I
WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ WT → KG

De →I-regel komt dus overeen met de opmerking bij het bewijs in natuurlijke taal dat we de WT als extra aanname mogen gebruiken.

Marie lacht of Piet leest de krant.

Bij de natuurlijke taal hebben we al gezien dat we de laatste stap konden zetten uitgaande van conclusie (d) Marie lacht of juist van (c) Piet leest de krant. Hier eerst het bewijs dat gebruik maakt van het feit dat Marie lacht.

hyp JV ∧ PK, JV → ML ⊢ JV ∧ PK ∧1E JV ∧ PK, JV → ML ⊢ JV   hyp JV ∧ PK, JV → ML ⊢ JV → ML →E JV ∧ PK, JV → ML ⊢ ML	∨1I
JV ∧ PK, JV → ML ⊢ ML ∨ PK

Nu het bewijs uitgaande van het feit dat Piet de krant leest.

hyp JV ∧ PK ⊢ JV ∧ PK ∧2E JV ∧ PK ⊢ PK	∨2I
JV ∧ PK ⊢ ML ∨ PK

We zien dat deze boom korter is. Dat komt natuurlijk direct doordat de bewering Piet leest de krant in minder stappen te bewijzen is dan de bewering Marie lacht. Ook al weet je misschien van beide delen dat ze waar zijn, de keuze voor een van de twee kan wezenlijk meer of minder werk opleveren bij het afwerken van het bewijs.

Kees is gelukkig.

Eerst het bewijs waarbij geen gebruik wordt gemaakt van de ∨E-regel.

hyp JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ JV ∧ PK ∧2E JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ PK   hyp JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ PK → WT →E JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ WT   hyp JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ WT → ¬ KT →E JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ ¬ KT	hyp JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ ¬ KT → KG	→E
JV ∧ PK, PK → WT, WT → ¬ KT, ¬ KT → KG ⊢ KG

Nu de variant waarbij gebruik wordt gemaakt van de ∨E-regel.

hyp JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG ⊢ KT ∨ ¬ KT	hyp JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ KT   hyp JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ JV ∧ PK ∧1E JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ JV   hyp JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ JV → ML →E JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ ML ∧I JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ KT ∧ ML   hyp JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ KT ∧ ML → KG →E JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, KT ⊢ KG	hyp JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, ¬KT ⊢ ¬ KT   hyp JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, ¬KT ⊢ ¬ KT → KG →E JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG, ¬KT ⊢ KG	∨E
JV ∧ PK, JV → ML, KT ∨¬ KT, KT ∧ ML → ¬ KG, ¬ KT → KG ⊢ KG

Bij dit voorbeeld is het dus niet noodzakelijk om de aanname KT ∨ ¬ KT te gebruiken met de ∨E-regel, maar in de praktijk is het vaak handig om deze regel toe te passen op een formule van de vorm P ∨ ¬ P. In dit voorbeeld was de formule KT ∨ ¬ KT expliciet opgenomen bij de aannames, maar in zijn algemeenheid hoeft dat niet. Het is niet makkelijk, maar je kunt binnen ons systeem van regels altijd een afleidingsboom maken met ⊢ P ∨ ¬ P als conclusie, voor willekeurige formules P.