Beweren en bewijzen/de zuilen/Formalisering/1. Vier werelden
literatuur
|
De onderkant van het rationaliteitsvierkant gaat over dingen, d.w.z. objecten in de fysieke realiteit, de bovenkant over hun beschrijvingen. We willen over dingen en hun eigenschappen redeneren, en we willen dat zo doen dat wij en anderen, zelfs computers, onze redenering kunnen controleren, want iedereen maakt wel eens redeneerfouten.
De crux van de rationaliteit is dat dit redeneren en controleren aan de bovenkant van het rationaliteitsvierkant gebeurt: we redeneren niet over de dingen zelf, maar over hun beschrijvingen, en we schrijven een beschrijving van onze redenering op opdat iemand anders deze kan controleren.
Beschrijven kunnen we in natuurlijke taal of in een →formalisme. Formalismen hebben grote voordelen: ze zijn exact en ondubbelzinnig, je kunt ermee rekenen, en een computer kan er van alles mee. Helaas gaan formalismen nooit over dingen uit de fysieke realiteit, ze gaan altijd over wiskundige objecten. Als we bewijsbare conclusies over de fysieke realiteit willen trekken en het bewijs ook nog door een computer laten controleren, hebben we dus te maken met vier werelden. Hoe hangen deze samen?
Men moet kunnen praten
| natuurlijke taal informele redeneringen |
Syntaxis. De betekenis van een uitspraak in een formele taal kan exact worden afgeleid volgens haar constructieboom. Bij natuurlijke talen is dat niet het geval; zij zitten op een verwarrende manier anders in elkaar dan formele talen. | formele taal geldig gevolg |
| Semantiek. Natuurlijke taal heeft geen exacte, ondubbelzinnige betekenis. Dezelfde uitspraak over de realiteit kan door twee mensen verschillend geïnterpreteerd worden zonder dat ze dat door hebben. |
Als de realiteit zich houdt aan de beweringen b1, b2, ... |
Semantiek. Elke syntactisch correcte bewering in een formele taal heeft een exacte betekenis, maar niet in de fysieke realiteit, alleen in de wereld van de wiskunde. |
| fysieke realiteit dingen en gebeurtenissen |
Abstractie. Om helder en exact te kunnen redeneren over de realiteit moeten we belangrijke van irrelevante aspecten scheiden. We redeneren niet over de realiteit zelf maar over een abstractie. | wiskundig model beschrijfbare situaties |
| Wat weet jij over deze vier werelden? | ||
|---|---|---|
natuurlijke taal
|
Syntaxis. | formele taal
|
| Semantiek. |
Als de realiteit zich houdt aan de beweringen b1, b2, ... |
Semantiek. |
fysieke realiteit
|
Abstractie. | wiskundig model
|
Hoe komen we van de linkerkant naar de rechterkant, opdat we met grootst mogelijke zekerheid gebruik kunnen maken van de rede? Zeker niet op deze manier:
Het moet kloppen
Formeel moet alles precies kloppen, hoe ingewikkeld het ook is. Maar het moet vooral ook passen bij de realiteit. Dit kunnen we beter controleren als het formalisme ook nog eens goed leesbaar is.
Wat er kan gebeuren als je niet oplet op de relatie tussen werkelijkheid en formalisme kun je hieronder lezen. Voltaire legt de woorden in de mond van de beroemde wiskundige Leonhard Euler:
| Eulers bekentenis | |
|---|---|
| De plus, ... notre lieutenant-général, Léonard Euler, déclare par notre bouche ce qui suit: | Bovendien ... verklaart onze generaalluitenant Leonhard Euler door onze mond het volgende: |
| ... | |
| IV. Qu’afin de radoucir un peu les philosophes allemands, il fera son possible pour ne plus captiver sa raison sous la foi d’une formule erronée. Il demande pardon à genoux à tous les logiciens d’avoir écrit à l’occasion d’un résultat contradictoire de son calcul: Hoc quidem veritati videtur minus consentaneum. Quidquid vero sit hic calculo potius quam nostro judicio est fidendum. (Voyez Euleri Mechanica, tome Ier, page 208.) « Cela ne paraît pas pouvoir être vrai. Mais, quoi qu’il en puisse être, il faut plutôt en croire le calcul que notre propre jugement. » | IV. dat hij, om de duitse filosofen enigzins gerust te stellen, het mogelijke zal doen om zijn verstand niet meer aan een foutieve formule uit te leveren. Hij bidt alle logici op zijn knieën om vergeving dat hij ter gelegenheid van een tegenstrijdige uitkomst van zijn berekening geschreven heeft: „Dit schijnt niet met de waarheid in overeenstemming te zijn. Hoe het zich ook in werkelijkheid verhouden moge, moet toch deze berekening meer vertrouwen geschonken worden dan ons verstand.” |
| V. ... qu’il n’emploiera plus soixante pages de calcul pour arriver à une conclusion qu’on peut établir par un raisonnement de dix lignes; item, que toutes les fois qu’il retroussera ses bras pour calculer trois jours et trois nuits de suite, il se donnera la patience de raisonner auparavant un quart d’heure sur le choix des principes qu’il conviendra d’employer. | V. ... dat hij niet meer zestig pagina’s vol berekeningen zal verspillen aan een conclusie die men met een redenering van tien regels kan bereiken; evenzo, dat elke keer als hij zijn mouwen opstroopt om drie dagen en nachten ononderbroken te rekenen, hij de tijd zal nemen om van te voren één kwartier na te denken over de keuze welke beginselen hij toepassen wil. |
Bron: Traité de paix conclu entre Mr. le président de Maupertuis et Mr. le professeur Kœnig. Berlin, 1753. – beschrijving van de Koninklijke Bibliotheek – tekst bij Google Books. Vertaling: David N. Jansen. Het citaat van Euler vindt zich in § 272 op pagina 108 [sic!] van Mechanica: sive motus scientia analytice exposita / auctore Leonhardo Eulero. Tomus I. Petropoli: Typogr. Acad. Sc., 1736. – nieuwere editie beschikbaar in de faculteitsbibliotheek – tekst bij Google Books. Met dank aan Niklaus Wirth, die de duitse vertaling van het bovenstaande als motto in zijn boek opgenomen heeft: Algorithmen und Datenstrukturen: Pascal-Version / von Niklaus Wirth. – 3., überarb. Aufl. – Stuttgart: Teubner, 1983.
