Beweren en bewijzen/de zuilen/Zekerheid/1. Overtuigen
| spraakverwarring
Sommige discussies gaan uit van „stellingen”, kernachtig opgeschreven standpunten die de discussie op gang moeten brengen. Om dat doel te bereiken wordt zo'n bewering soms overdreven, zodat er tegenwerpingen uitgelokt worden. In de wiskunde en in deze cursus wordt daarentegen het woord stelling gereserveerd voor de constatering dat een bewering bewijsbaar uit bepaalde aannames volgt. Ook het woord „bewijs” kan in de natuurlijke taal verschillende betekenissen hebben. Wetenschappelijke artikelen (en veel andere teksten) worden erop geschreven om de lezer zoveel mogelijk te overtuigen, soms door strikt wiskundig bewijs, maar in andere gebieden door passende argumenten. De auteur van het artikel hoopt dat de argumenten zoveel mogelijk instemming uitlokken, maar eigenlijk moet je een artikel net zo kritisch bejegenen als een discussiestelling! In het kader van deze cursus bedoelen we een sluitende argumentatie dat een stelling waar is, d.w.z. dat de conlusie uit de aannames volgt. Zie Stelling en bewijs. |
| literatuur |
Overtuigd raken dat iets waar is kan men op verschillende manieren, bijvoorbeeld door inzicht, door zijn geloof of omdat het in de krant staat of omdat de docent het zegt. Anderen overtuigen kan men bijvoorbeeld met gezag of door dreiging met geweld. Erg academisch is zoiets echter niet.
Academici houden ervan, zichzelf en anderen te overtuigen door een sluitende argumentatie.
Zoals hiernaast te zien, lukt dit niet altijd even goed. Men moet het leren.
Een casus uit het koude Antarctica
Wie predikaatlogica kent, kan de redenering als volgt opschrijven:
∀x. P(x) → BW(x) ∃x. TV(x) ∧ BW(x) --------------------------- ∃x. P(x) ∧ TV(x)
Probeer eens uit te leggen waarom men dit niet kan bewijzen!
Een voorbeeld uit Beweren en bewijzen/de zuilen/Artefacten/4. Structuur
Hieronder een lijstje van fragmenten van kennis over de onderdelen van een deurbel. Elk onderdeel zorgt ervoor dat één van deze beweringen waar is – als het tenminste goed functioneert. Elke bewering drukt precies uit wat men moet weten om zich te overtuigen dat het geheel goed werkt. Alles wat er niet toe doet, is weggelaten.
Batterij: Er staat een spanning op contact A. Knop: Als er een spanning op contact A staat geldt:
op contact B staat een spanning dan en slechts dan als de knop
ingedrukt is. Bel: Het rinkelt dan en slechts dan als er een spanning op contact C staat. Kabel: Dan en slechts dan als er een spanning op contact B staat,
staat er een spanning op contact C.
Hierbij moet 'Het rinkelt' gelezen worden als 'er is iets dat rinkelt' of als 'er klinkt een rinkelend geluid'. Het woord 'het' slaat in elk geval niet terug op het onderdeel 'bel' of op het hele artefact 'elektrische deurbel'.
Deze onderdelen samen zorgen voor een interessante eigenschap van het geheel:
Het rinkelt dan en slechts dan als de knop ingedrukt is.
Een bewijs voor deze bewering gaat uit van de aanname dat de vier beweringen over de onderdelen allemaal waar zijn. Zo als bij elke 'dan en slechts dan'-uitspraak zijn nu twee argumentaties gevraagd:
- Stel dat de knop ingedrukt is. Dan rinkelt het.
- Stel dat het rinkelt. Dan is de knop ingedrukt.
Technisch gesproken is het misschien wel mogelijk om een bewijs te geven waarbij deze opsplitsing niet gemaakt wordt, maar de ervaring leert dat die bewijzen vaak onoverzichtelijk zijn en dus moeilijk te controleren. Wen daarom aan om zo'n ,dan en slechts dan’ uitspraak op deze manier te splitsen.
Probeer eerst eens zelf een bewijs in natuurlijke taal op te schrijven voor de eerste bewering en vergelijk het daarna met onze oplossing hieronder.
| Bewijs van de eerste helft van de bewering over de deurbel |
|---|
|
Voor een volledig bewijs moet ook nog worden beredeneerd dat als het rinkelt er dan volgt dat de knop is ingedrukt. Werk dat zelf uit.
Er zijn verschillende manieren waarop je zo'n bewijs in natuurlijke taal kunt opschrijven. Niet altijd gebeurt het zo systematisch als in het voorbeeld hierboven, waarbij echt alle stappen zo eenvoudig mogelijk zijn gemaakt zodat er per stap geen twijfel mogelijk is over de correctheid van die stap. Wat als overtuigend bewijs geaccepteerd wordt, hangt ook van de lezer af. Geschoolde bewijslezers zijn tevreden met grote stappen en vullen de rest zelf in. Als je het bewijzen wilt leren, kun je beter zoals hierboven naar volledigheid streven en alles uiterst systematisch opschrijven.
We zullen later ook leren een bewijs volledig in een daartoe bedacht formalisme op te schrijven en door de computer te laten controleren of er geen speling of knel in zit.
Argumenten nader bekeken
Hier eerst een tabel met allemaal genummerde aannames.
Als er tijdens de bewijzen met natuurlijke taal opeens nieuwe aannames gemaakt worden, zijn die met Romeinse cijfers genummerd.
| Nr. | aanname |
|---|---|
| (1) | Jan vertelt een verhaal en Piet leest de krant. |
| (2) | Als Jan een verhaal vertelt, dan lacht Marie. |
| (3) | Als Piet de krant leest, dan kijkt Wilma tv. |
| (4) | Kees is thuis of niet. |
| (5) | Als Wilma tv kijkt, is Kees niet thuis. |
| (6) | Als Kees thuis is en Marie lacht dan is hij gelukkig. |
| (7) | Als Kees niet thuis is, is hij gelukkig. |
Op basis van deze aannames bewijzen we nu exemplarisch een aantal conclusies. Merk op dat we bij deze bewijzen zoveel mogelijk teruggrijpen op al eerder bewezen beweringen.
- (a) Jan vertelt een verhaal en Piet leest de krant.
- Uit aanname (1) volgt dat Jan een verhaal vertelt en dat Piet de krant leest. Maar dat was precies wat we moesten bewijzen, dus we zijn klaar.
- (b) Jan vertelt een verhaal.
- Uit aanname (1) volgt dat Jan een verhaal vertelt en dat Piet de krant leest. Dus in het bijzonder geldt dat Jan een verhaal vertelt.
- (c) Piet leest de krant.
- Uit aanname (1) volgt dat Jan een verhaal vertelt en dat Piet de krant leest. Dus in het bijzonder geldt dat Piet de krant leest.
- (d) Marie lacht.
- Uit aanname (2) volgt dat als Jan een verhaal vertelt, dan lacht Marie. Maar conclusie (b) toont aan dat Jan inderdaad een verhaal vertelt. En dus volgt uit (b) en (2) samen dat Marie lacht.
- (e) Wilma kijkt tv.
- Uit aanname (3) volgt dat als Piet de krant leest, Wilma tv kijkt. En conclusie (c) toont aan dat Piet inderdaad de krant leest. En dus volgt uit (c) en (3) dat Wilma tv kijkt.
- (f) Wilma kijkt tv en Marie lacht.
- Uit conclusie (d) volgt dat Marie lacht. Uit conclusie (e) volgt dat Wilma tv kijkt. Maar dan volgt uit (e) en (d) samen wel dat Wilma tv kijkt en Marie lacht.
- (g) Als Wilma tv kijkt, is Kees gelukkig.
- Als we een 'als-dan' bewering moeten bewijzen, betekent dat dat we het 'als' gedeelte als extra aanname mogen gebruiken. Dus hier krijgen we als extra aanname (I) Wilma kijkt tv.
- Uit aanname (5) volgt dat als Wilma tv kijkt, Kees dan niet thuis is. Maar uit die extra aanname (I) weten we nu juist dat Wilma tv kijkt.
- Dus volgt uit (I) en (5) samen de conclusie (A) dat Kees niet thuis is. Maar uit aanname (7) volgt dat als Kees niet thuis is, hij gelukkig is. Dus uit (A) en (7) samen weten we nu dat Kees gelukkig is.
- (h) Marie lacht of Piet leest de krant.
- We hebben al de conclusie (d) Marie lacht bewezen. Maar dan kunnen we die bewering (d) natuurlijk verzwakken: het is dan zeker waar dat Marie lacht of dat Piet de krant leest.
- Overigens hadden we net zo goed de conclusie (c) Piet leest de krant kunnen gebruiken en dan concluderen dat Marie lacht of dat Piet de krant leest.
- (i) Kees is gelukkig.
- Deze bewering kunnen we op meerdere manieren bewijzen.
- De eerste maakt gebruik van de technieken die we hierboven al eerder hebben gezien.
- Uit aanname (5) weten we dat als Wilma tv kijkt, Kees niet thuis is. Maar uit conclusie (e) weten we al dat Wilma inderdaad tv kijkt. En dus volgt uit (e) en (5) de conclusie (B) dat Kees niet thuis is. (Toevallig is dit dezelfde als (A) hierboven, maar omdat we hem op een heel andere manier hebben verkregen, geven we hem hier toch een nieuwe naam.) Maar uit aanname (7) volgt dat als Kees niet thuis is, hij gelukkig is. Dus uit (B) en (7) samen weten we nu dat Kees gelukkig is.
- De tweede manier maakt gebruik van een nieuwe techniek: gevalsonderscheiding.
- Uit aanname (4) weten we dat Kees thuis is of niet. Als het ons nu lukt om in beide gevallen te bewijzen dat Kees gelukkig is, weten we zeker dat Kees gelukkig is zodra we weten dat een van die twee gevallen waar is, zonder te hoeven weten welk geval waar is.
- Stel Kees is thuis. Dat is een nieuwe aanname (II). Uit aanname (6) weten we dat als Kees thuis is en Marie lacht, dat Kees dan gelukkig is. Echter, uit aanname (II) en conclusie (d) trekken we de conclusie (C) dat het inderdaad zo is dat Kees thuis is en Marie lacht. Maar uit (C) en (6) weten we dan dat Kees gelukkig is.
- Nu het andere geval. Stel dat Kees niet thuis is. Dat is weer een nieuwe aanname (III). Uit aanname (7) weten we dat als Kees niet thuis is, hij gelukkig is. Dus volgt uit (III) en (7) meteen dat Kees gelukkig is.
- We hebben nu in beide gevallen en dus in alle gevallen aangetoond dat Kees gelukkig is. Dus is Kees gelukkig, onafhankelijk van welk geval nu is opgetreden.
We zien hier een patroon. Aannames worden steeds weer op soortgelijke manieren gecombineerd om er iets uit te concluderen. Eenmaal getrokken conclusies mogen we in volgende stappen gebruiken.
Wie vaker dit soort bewijzen nauwkeurig wil opschrijven, verlangt gauw naar een formalisme dat dit ondersteunt, en naar een computerprogramma dat controleert dat men geen fouten maakt. Zoiets bestaat. We komen hierop terug in het hoofdstuk Natuurlijke deductie. Maar eerst zullen we de begrippen stelling, bewijs en waarheid goed bekijken.
