Categorie:Quantoren

{{Standaardfout|Quantoren|commentaar}}

∀ is echt niet hetzelfde als ∃.

Quantoren hebben een bereik!

∀ m:M, (∃ h:D, bezit m h ∧ isHond h) → betaaltHondenbelasting m

"Alle mensen betalen hondenbelasting als ze een dier bezitten dat een hond is."

Deze bewering zou waar moeten zijn in Nijmegen, maar er is een probleem met de handhaving.

∀ m:M, ∃ h:D, bezit m h ∧ isHond h → betaaltHondenbelasting m

Wapen van de koning van Schotland

"Voor alle mensen is er een dier (denk bijvoorbeeld aan bijvoorbeeld het eenhoorn van de koning van Schotland) zodat geldt: als een mens dat dier toevallig bezit en het ook nog een hond is (nee dus), dan betaalt deze mens hondenbelasting."

Dit is waar, omdat de premisse onwaar is.

Een situatie die het verschil aantoont

Gegeven de volgende situatie:

• De hele verzameling mensen M waar we het hier over hebben bestaat maar uit 1 mens Jim en betaaltHondenbelasting Jim is onwaar.
• Een dier Lady en isHond Lady is waar en bezit Jim Lady is waar.
• Een dier Vagebond en isHond Vagebond is waar en bezit Jim Vagebond is onwaar.

De situatie maakt de eerste bewering onwaar. Omdat het voor 1 mens, namelijk Jim niet klopt.

De tweede bewering is waar. Als we voor m alle opties invullen (in dit geval alleen Jim) is de bewering die er dan staat waar.

Het is niet waar dat "alle quantoren vooraan" moeten staan.

Hier het zielige resultaat van een poging om "Iedere koning heeft precies één kamerplant." te formaliseren:

∀ x:M, (∃ y:P, iskoning x /\ isEigenaarVanPlant x y /\ (∀ z:P,  isEigenaarVanPlant x z --> z = y))

Dit kan geen mens begrijpen. Een grote brij die door een paar overbodige haakjes ook niet leesbaarder wordt. We maken het beter zo op dat men de bereiken van de kwantoren ziet:

∀ x:M, ∃ y:P, 
  iskoning x 
  /\ isEigenaarVanPlant x y 
  /\ (∀ z:P,  isEigenaarVanPlant x z --> z = y)

Eer staat dus in elk geval dat iedereen koning is (en nog iets anders doet of heeft). Het verhaal is echter moeilijk voorleesbaar: "Voor iedereen geldt dat er een plant is zodat betrokkene koning is en..."

Dat komt omdat in het bereik van de existentiële quantor iets staat wat er niets te zoeken heeft. Onderstaande formule is logisch equivalent is met bovenstaande, maar wel voorleesbaar:

∀ x:M, 
  iskoning x 
  /\ 
  (∃ y:P, isEigenaarVanPlant x y 
           /\ (∀ z:P.  isEigenaarVanPlant x z --> z = y)
  )

"Iedereen is koning en heeft precies één kamerplant."

Nu ziet men dat er sprake is van een beruchte andere quantificatiefout:

Beperkte quantificatie

Een berucht variant van onbegrip van dit samenspel van conjunctie en implicatie is het fout herschrijven van:

∃n: T, P(n)

en:

∀n: T, P(n)

in ongetypeerde logica. In Beweren en bewijzen/de zuilen/Taal/4. Typering is het uitgelegd. Ga goed na wanneer de vier beweringen hieronder waar zijn en welke ervan dus overeenkomen met de twee beweringen hierboven!:

 ∃n, T(n) ∧ P(n) 
 ∃n, T(n) ⇒ P(n) 
 ∀n, T(n) ∧ P(n) 
 ∀n, T(n) ⇒ P(n)

Twee verschillende namen betekenen niet noodzakelijk twee verschillende objecten

∃ x:M, ∃ y:M. isKoningVanNederland x ∧  isKoningVanNederland y

Klopt!