Categorie:Geen bewijs

{{Standaardfout|Geen bewijs|commentaar}}

Helaas is gebleken dat het niet iedereen duidelijk is wat het verschil is tussen enerzijds een (correctheids)stelling en anderzijds een bewijs daarvan of een redenering die aangeeft dat zo'n stelling klopt.

Stelling

Wat een correctheidsstelling is, staat hier precies beschreven.

In het kort komt het erop neer dat er wiskundig wordt beschreven dat een artefact aan een bepaalde eigenschap voldoet:

s1, s2, s3, ... , sn |= S

Hierbij is S de specificatie van het hele artefact waarin dus die bepaalde eigenschap wordt beschreven. De s_i geven de specificaties aan van elk van de n onderdelen die gebruikt worden om het artefact te maken.

In natuurlijke taal zou de correctheidsstelling voor de deurbel er als volgt uit kunnen zien: (Omdat de specificaties lang zijn, schrijven we ze onder elkaar en gebruiken een horizontale streep in plaats van de komma's en de |= .)

Batterij: Er staat een spanning op contact A.
Knop: Als er een spanning op contact A staat geldt: op contact B staat een spanning dan en slechts dan als de knop ingedrukt is.
Bel: Rinkelt dan en slechts dan als er een spanning op contact C staat.
Kabel: Dan en slechts dan als er een spanning op contact B staat, staat er een spanning op contact C.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dan en slechts dan als de knop ingedrukt is rinkelt het.

Als de onderdelen en het artefact goed gespecificeerd zijn door gebruik te maken van gemeenschappelijke fenomenen, is het opstellen van zo'n correctheidsstelling niets anders dan het netjes ordenen van de verschillende specificaties.

Bewijs

Willen we een bewijs van deze stelling geven, dan moeten we eerst kijken wat deze stelling inhoudt. Logisch gezien betekent het dat S altijd waar moet zijn als alle specificaties s_i tegelijk waar zijn.

Onze S is hier 'Dan en slechts dan als de knop ingedrukt is rinkelt het' dus in het bijzonder een 'dan en slechts dan' uitspraak en dat betekent dat we twee dingen moeten bewijzen.

• Stel dat de knop ingedrukt is. Dan rinkelt het.
• Stel dat het rinkelt. Dan is de knop ingedrukt.

We bewijzen de eerste bewering in natuurlijke taal.

• (1) Stel dat de knop is ingedrukt.
• (2) Uit de specificatie van de batterij weten we dat er spanning staat op A.
• (3) Uit de specificatie van de knop weten we dat er spanning op B staat als de knop is ingedrukt en als er ook spanning op A staat. Maar dat zijn precies de twee dingen die we weten uit (1) en (2).
• (4) Dus staat er spanning op B.
• (5) De specificatie van de kabel zegt dat er spanning op C staat precies dan als er spanning op B staat. Maar uit (4) weten we dat er inderdaad spanning op B staat.
• (6) Dus staat er ook spanning op C.
• (7) De specificatie van het onderdeel bel (en dus niet het hele artefact deurbel!) zegt dat de bel rinkelt dan en slechts dan als er spanning op C staat. Maar uit (6) weten we dat er inderdaad spanning op C staat.
• (8) Dus mogen we concluderen dat het rinkelt.

En daarmee hebben we een redenering gegeven waaruit blijkt dat de correctheidsstelling klopt. (Nou ja, een van de twee delen van het bewijs: voor een volledig bewijs moet ook nog worden beredeneerd dat als het rinkelt er dan volgt dat de knop is ingedrukt. Probeer dat zelf.)

Er zijn verschillende manieren waarop je zo'n bewijs in natuurlijke taal precies kunt opschrijven. Daar wordt in hoofdstuk Beweren_en_bewijzen/het_verhaal/5._Bewijzen nader op ingegaan. Hier is slechts een van de mogelijke varianten gekozen.

Sta je in onderstaande lijst, onderneem dan actie om de fout te verbeteren.