Beweren en bewijzen/supplement/assistentie/taak 02

Hier wat extra informatie over de leertaak.

Opgave 1

• Let er vooral op dat studenten geen stappen overslaan. Met name bij de specificatie van de knop gaat het vaak mis omdat daar twee pijlen in zitten.
  1. Stel dat het rinkelt.
  2. Uit de specificatie van de bel weten we dat het rinkelt dan en slechts dan als er spanning op contact C staat.
  3. Uit (1) en (2) weten we dus dat er spanning op contact C staat.
  4. Uit de specificatie van de kabel weten we dat er spanning op contact B staat dan en slechts dan als er spanning op contact C staat.
  5. Uit (3) en (4) weten we dus dat er spanning op contact B staat.
  6. Uit de specificatie van de knop weten we dat als er een spanning op contact A staat, dat er geldt dat er een spanning op contact B staat dan en slechts dan als de knop is ingedrukt.
  7. Uit de specificatie van de batterij weten we dat er spanning staat op contact A.
  8. Dus uit (6) en (7) weten we dat er op contact B een spanning staat dan en slechts dan als de knop is ingedrukt.
  9. Dus uit (5) en (8) weten we dat de knop is ingedrukt.

Opgave 2

Probleem 1

Dit is het (een?) algoritme.

1. Een eerste student gaat staan op de plek waar de rij gaat komen.
2. Het maakt niet uit welke kleur muts hij heeft.
3. Een tweede student gaat naast de eerste student staan:
   1. Als die eerste student een rode muts heeft, gaat hij rechts van die student staan. Want als hij zelf een rode muts heeft levert dat nog steeds aan de linkerkant van de rij een blok alleen maar rode mutsen. Heeft hij zelf een witte muts dan is er nu een rij gevormd met links een student met een rode muts en rechts een student met een witte muts.
   2. Als die eerst student een witte muts heeft, gaat hij links van die student staan. De redenering gaat analoog.
4. Elke volgende student ziet nu drie mogelijke configuraties staan:
   1. Hij ziet alleen maar studenten met een rode muts. Dan gaat hij rechts van die studenten staan. Ofwel breidt hij daarmee het blok van rode mutsen uit ofwel begint hij een blok van witte mutsen aan de goede kant van de rode mutsen.
   2. Hij ziet alleen maar studenten met een witte muts. Dan gaat hij links van die studenten staan. Ofwel breidt hij daarmee het blok van witte mutsen uit ofwel begint hij een blok van rode mutsen aan de goede kant van de witte mutsen.
   3. Hij ziet een blok rode mutsen aan de linkerkant en en blok witte mutsen aan de rechterkant. Dan wringt hij zich tussen de twee studenten met een verschillende kleur muts die ergens naast elkaar staan. (Misschien vraagt hij netjes of de rest wat opschuift.) Zijn eigen muts vergroot nu één van de twee blokken, maar de eigenschap dat alle rode musten links en alle witte mutsen rechts staan blijft behouden.

Probleem 2

Het probleem kan met gevalsonderscheiding worden opgelost.

• Stel de uitspraak op koffer 1 is waar. Dan zit het goud in koffer 2 en zijn de uitspraken op de koffers 2, 3 en 4 onwaar.
  • Omdat de uitspraak op koffer 2 onwaar is, is het niet zo dat alle andere koffers leeg zijn. Dus het goud moet in koffer 1, 3 of 4 zitten.
  • Maar dat kan niet want we wisten al dat het in koffer 2 zat.
• Dus de uitspraak op koffer 1 in onwaar en we weten dus dat het goud niet in koffer 2 zit, maar in 1, 3 of 4.
  • Stel dat de uitspraak op koffer 2 waar is. Dan zijn dus de koffers 1, 3 en 4 leeg en de uitspraken op de koffers 3 en 4 onwaar.
    • Maar dat kan niet want we weten dat in één van die koffers het goud zit.
  • Dus de uitspraak op koffer 2 is onwaar. Dus niet alle andere koffers zijn leeg. Dus het goud zit in koffer 1, 3 of 4.
    • Stel dat de uitspraak op koffer 3 waar is. Dan bevat koffer 3 het goud en is de uitspraak op koffer 4 onwaar.
      • Omdat de uitspraak op koffer 4 onwaar is, is koffer 4 niet leeg en bevat dus het goud.
      • Maar dat kan niet want koffer 3 bevat al het goud.
    • Dus de uitspraak op koffer 3 is onwaar en de uitspraak op koffer 4 is wel waar. Dus koffer 3 bevat geen goud.
      • Omdat de uitspraak op koffer 4 waar is, bevat koffer 4 geen goud.
      • En we wisten ook al dat koffer 3 geen goud bevat.
      • Dus moet koffer 1 het goud bevatten, want we wisten al dat het goud in koffer 1, 3 of 4 moest zitten.

Probleem 3

Antwoord C is het goede antwoord.

• Als antwoord A goed is, dan is ook antwoord B goed, want antwoord A impliceert ook dat antwoord A of antwoord B goed is. Dus is A niet het enige goede antwoord.
  • Het is verleidelijk om hier al A\/B te schrijven, maar er werd een redenering in natuurlijke taal gevraagd en dan kan dat dus niet.
• Als antwoord B goed is, dan is ook antwoord C goed, want antwoord B impliceert ook dat antwoord C of antwoord B goed is. Dus is B niet het enige goede antwoord.
• Dus blijft C over. (En als antwoord C goed is, impliceert dat niet dat ook B goed is of dat ook A goed is.)

Er zijn verschillende soorten formalisaties mogelijk.

• Elke formalisatie moet een woordenboek hebben:
  • A betekent antwoord A is goed, B betekent antwoord B is goed en C betekent antwoord C is goed.
• Elke formalisatie levert een of meer formules op:
  • Een formalisatie van de antwoorden levert dan de formules A, A\/B en C\/B op. (Dus niet B\/C, al is die wel equivalent.)
• Elke formalisatie legt uit wat er met die formules gedaan moet worden:
  • Maak nu een waarheidstabel waar al deze drie formules in staan.
    • We hoeven alleen maar te kijken naar de rijen met voor A-B-C de waardes 0-0-1, 0-1-0 en 1-0-0, want de andere rijen voldoen niet aan de eis dat er precies één antwoord goed is.
    • Op deze drie rijen kijken we naar de drie kolommen van de formules hierboven en zoeken daarin een rij die precies in één kolom een 1 heeft staan. Dat is de rij bij 0-0-1, wat dus betekent dat alleen antwoord C goed is.
• Er is ook een formalisatie met XOR-mogelijk.

Probleem 4, 5 en 6

Omdat deze niet meetellen voor de taak hier (nog) geen uitwerkingen van.